概率是针对大量重复测试的，大量重复测试所反映的模式不一定会出现在每次测试中。概率频数问题主要在初中阶段的触球、抽签、转盘游戏模型三种情况中呈现。灵活巧妙地运用这三种情况，可以将很多概率问题转化为这种模型，可以使概率相关的问题很容易得到解决。
对于碰球（抽签）问题，需要注意以下几点：计算“替换”和“不替换”概率的区别：
替换型，即第二次可以选择的号码与第一次的号码相同；
无替换，即第二次可选择的数量比第一次少1；
一次服2粒。问题主干中未指定顺序。它被认为是不可替代类型。方法同。
第一类“替换”问题
在解决与拾取真实物体（球、纸牌或扑克牌等）的概率相关的问题时，第一次拾取的物体放回原处，第二次可以再次拾取（即重复）。使用枚举法制作列表时，画在树形图中不要错过
例1.（2018秋季·虹桥区决赛）一个盒子里有4个相同的小球。分别标记为1、2、3、4。随机挑出一个小球放回去，然后再随机挑出一个小球。球。
（一）请用列表法（或画树形图）列出所有可能的结果；
（二）求两次取出的球数目相同的概率；
（三）求两次取出的球数之和大于6的概率。
【分析】（一）根据题意可以画出树形图，从树形图中可以清楚地识别出所有可能的结果。
（二）分析所画的树形图，找出两次取出的球数目相同的情况，然后用概率公式解题得到答案。
（三）根据树形图，我们可以找到两次取出的球的数量之和大于6的情况，然后用概率公式求解得到答案。
【答案】（一）画树形图可得：
() 有16 种同等可能的结果。两次取出的球数相同的情况有4种情况。
两次取出的球编号相同的概率为4/16=1/4；
() 有16 个同样可能的结果。如果两次取出的球数之和大于6，结果为3。
两次取出的球数之和大于6的概率是3/16。
【点评】本题考查利用列表法和树形图法进行概率计算的知识。这个问题并不难。解决问题的关键是要注意列表法和树形图法可以列出所有可能的结果，不重复、不遗漏。列表方法适合分两步完成的事件；树形图方法适用于两步或两步以上完成的事件；请注意，概率=所需情况的数量与情况总数的比率。
例1 变化一（2018年秋季·南关区决赛） 一个不透明的袋子里装着三个小球，上面写着数字2、1、2。除了文字不同外，其他方面都一样。现在随机拿出一个小球，记录小球上的数字，放回去搅拌均匀，然后随机拿出一个小球，记录小球上的数字。请用画树形图（或列表）的方法求出两个记录数之和为正数的概率。
【分析】列出所有同样可能的情况的个数，找到两个记录数之和为正数的情况，就可以求出你要找的概率了。
[解答] 名单如下
有9 种同样可能的情况，其中有4 种结果是两个记录数之和为正。
因此，两个记录数之和为正的概率为4/9。
例2 （2018秋季·东城区决赛）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式。在京剧表演中，脸谱常常被用来象征性格、品质，甚至角色和命运。例如，红脸代表忠诚和正直，黑脸代表力量和勇敢。一共有三张不透明卡。其中两张卡片的正面有“红脸”图案，另一张卡片的正面有“黑脸”图案。除了正面图案不同外，其余的牌都是一样的。将这三张卡片的背面朝上。洗均匀，随机选一件，记录图案放回去，再洗一遍，再随机选一件。
请用画树形图或列表的方法求出抽到的两张牌上的图案均为“红面”的概率。 （两张带有“红面”图案的卡片分别标记为A1和A2，带有“黑面”图案的卡片标记为B）
【分析】根据题意画出树状图，求出所有情况的个数以及两次抽到的牌都是“红面”的情况个数，然后根据概率公式进行计算。
【解答】画树形图为：
从树形图中可以看出，有9种可能的结果，其中4种是抽到的两张牌都是“红脸”的结果，所以P（都是“红脸”）=4/9
答案：抽到的两张牌上的图案都是“红面”的概率是4/9。
【点评】这题主要考的是求概率的方法。使用的知识点是数值图和概率。概率=寻求的情况数量与情况总数的比率。关键是根据题意画出树形图。
示例2 变体。 （2018秋季·朝阳区决赛） 一个不透明的盒子里有三张牌，分别标记为A、B、B。每张卡片除了图案不同外都是相同的。卡上的图案分别是正方形和等边三角形。 从盒子里随机抽一张卡片，写下图案，放回去搅拌均匀；然后随机抽一张卡片并写下图案。用画树形图（或列表）的方法求出两次画的卡片上的图案都是等边三角形的概率。
【分析】首先根据题意列出表格，然后利用表格找出所有同样可能的结果以及两次抽奖都是B的情况，然后利用概率公式求出答案。
从表中可以看出，有9种同样可能的结果。其中，抽了两次的牌上的图案都是等边三角形，有4种结果。因此，抽出两次的卡片上的图案是等边三角形的概率是4/9
类型2：“无法替代”问题
对于取数问题中的“不可替换”问题，在制作列表或绘制树形图时，上一次的结果不能重复第二次（第三次），即不重复，结果和同时取的结果是一样的。
例3.（2018年秋季·景宁县决赛）一个不透明的口袋里有4个小球，分别标有数字1、2、3、4。它们的形状和大小完全相同。小红先从口袋里随机拿出一个小球。球记录的数字为
(1) 肖红抽出标有数字3的球的概率是______。
(2) 请用列表法或画树形图来表达由x,y确定的点P(x,y)的所有可能结果。
(3)求函数y=-x+5的图像上点P(x,y)的概率。
【分析】（1）根据概率公式求解；
(2)用树形图显示所有12个同等可能结果的个数；
(3)利用一次函数图上点的坐标特征，得到函数y=-x+5在图上结果的个数，然后根据概率公式求解。
【答案】（1）小红抽到标有数字3的球的概率是1/4；
因此答案是1/4；
(2) 绘制树形图为：
从列表或者画树形图我们可以知道，P点的坐标可能是(1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 3)，
(2,4) (3,1) (3,2) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) 共12种情况，
(3) 有12种可能的结果，其中4种在函数y=-x+5的图上，即(1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)
因此，函数y=-x+5=4/12=1/3的图像上点P(x,y)的概率。
例4.（2018·锦州中考题）卡通《小猪佩奇》风靡全球，深受孩子们的喜爱。目前共有4张（小猪佩奇）人物卡，分别是A.小猪佩奇、B.小猪乔治、C.小猪佩奇妈妈、D.小猪佩奇爸爸（四张卡除字母和内容外均相同）。姐姐和弟弟正在玩游戏。他们将四张卡片混合在一起，并将它们正面朝上。
(1) 妹妹从中随机抽一张牌，抽到小猪佩奇的概率是______。
(2) 如果两个人各随机抽一张牌（不放掉），请用列表或画树形图求姐姐抽到A Page 和弟弟抽到B George 的概率。
【分析】（1）只要用概率公式来计算即可；
(2)画树形图列出所有同样可能的结果，并根据概率公式求解。
【答案】（1）姐姐从4张牌中随机抽一张牌。
准确绘制A页的概率=1/4，
因此答案是：1/4；
(2) 绘制树形图为：
有12 个同样可能的结果，其中姐姐抽到了小猪佩奇，弟弟抽到了乔治，结果数为1。
因此，姐姐抽到A小猪佩奇，弟弟抽到B乔治的概率=1/12。
【点评】本题测试使用列表法或树形图法计算概率。列表方法可以列出所有可能的结果，不重复、不遗漏，适合分两步完成的事件；树形图方法适用于分两步或更多步骤完成的事件；解决问题时要注意是否把实验放回去。回到实验。使用的知识点是：概率=需要的情况数与总情况数的比值。
例4变形例1、（2018年秋季·莱西市期中）2018年9月，山东省第24届运动会在青岛举行。参加分会场工作的志愿者有20名，其中男生8名，女生12名。
（1）如果从这20人中随机选出一个人作为联络官，求选择女孩的概率；
（2）如果分会场某个项目只有A和B可以选择一人，则他们将决定谁参加一场比赛。游戏规则如下：放四张分别为数字2、3、4、5的牌。洗完扑克牌后，将数字面朝下放在桌子上。从中取出任意一张卡片，不要将其放回原处，然后再取出另一张。若牌上数字之和为偶数，则A参加；否则，B 参与。这个游戏公平吗？请使用树形图或列表来解释您的理由。
【答案】（1）志愿者共有20人，其中女生12人，选择女生的概率为：12/20=3/5；
(2) 不公平，
根据题意画图如下：
一共有12种情况，和为偶数的情况有4种。
卡片上的数字之和为偶数的概率为4/12=1/3，
A参与的概率是1/3，B参与的概率是2/3。 这个游戏不公平。
例4 变化2.（2018年秋季海安县期中考试） 如图所示，有四张扑克牌A、B、C、D，背面相同。正面画有四个不同的几何图形。将这四张扑克牌的背面清洗均匀。
(1)从中随机抽一张牌，求抽出的牌是中心对称图形的概率。
(2) 小明和小亮同意玩一个游戏。规则如下：首先，小明随机抽出一张牌，不放回去。然后萧亮从剩下的牌中随机抽出一张牌。如果两张牌图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜。这个游戏公平吗？请用列表或画树形图来解释。 （扑克牌使用A、B、C、D）
【分析】（1）首先根据题意和概率公式即可得到答案；
(2)首先根据已知的列表，求出两张牌图形的形状，然后求出小明获胜和小亮获胜的概率。通过比较概率，就可以知道游戏是否公平。
【答案】（1）共有4张牌，正面为中心对称图形的情况有2种。
因此，抽到正面中心对称图形的牌的概率为1/2；
（二）名单：
总共产生12 个结果，每个结果出现的可能性相同。其中，轴对称图形的两张牌有6种。
P（均为轴对称图形）=1/2，
因此这场比赛是公平的。
变化练习1.（2018•硚口区模拟） 一个不透明的盒子里有三张卡片，分别标有数字1、2、3。除了数字之外，所有卡片都相同。
（1）小明从盒子里随机选择一张卡片，记下数字，然后放回去。洗牌后，他随机选择一张牌。用画树形图或列表的方法，求抽出的两张牌上数字的乘积：3的整数倍的概率；
（2）小亮从盒子里随机抽一张牌，记下数字，不放回去，然后从盒子里随机抽一张牌，直接写出抽到的两张牌上的数字的乘积是3.概率是。
变化练习2（2018年秋季建宁县期中考试）随机抽取某学校30名学生进行A：跑步、B：篮球、C：绳索、D：乒乓球、E：武术5种活动。随机抽样调查，每个学生只能选择一种锻炼形式。根据调查统计结果，绘制以下不完全统计图：
(1) 完成条形图；
(2) 如果这所学校有1,200 名学生，估计有多少人喜欢跳绳？
（3）某堂体育课上，老师在5个一模一样的乒乓球上写下了A、B、C、D、E，并放在不透明的口袋里。每个人一次拿出一个球，只碰一次。然后放回去，根据球上的数字参加相应的活动。小明和小刚是好朋友。请用树形图或列表法求出它们恰好处于同一活动形式的概率。
[变式练习答案] 1. (1) 5/9; (2)2/3。
2、（1）D类人数为30-（4+6+9+3）=8（人），
完整的条形图如下：
(2)360；
(3)1/5
方法总结：枚举法一般用于计算触球的概率。在枚举所有可能的结果时，必须确保不遗漏重复的结果。计算概率时，关键是确定所有同等可能结果的个数和可能结果的个数。结果的数量除以事件的可能结果的数量再除以可能结果的数量。
在重复测试计算概率的问题中，第一次取出再放回去，第二次取出来计算概率。做这类试题时，要注意两次得到的结果总数。如果不放回去，则计算第二次。第二次检索的结果总数比第一次少一个。
与代数和几何知识相结合的概率题的本质是求概率，但它需要应用代数和几何方法来确定具有一定限制的事件的数量。一般的方法是用列表或者画树图的方式找出所有可能的结果等等，然后找到满足所涉及知识的结果，然后求概率。
