初中几何最优模型讲义及练习
1型“一般饮酒马”模型
通过对称性进行等价代换，转换为两点之间的距离或一点到直线的距离，或者用三角形两条边之和大于第三条边与两条边之差来小于第三边即可找到最优值。
1、同侧和对侧两条线段之和最短
2、同侧和对侧两条线段的最大和最小差值
例：如图所示，给定四个点A.B.C.D，请画一个点P，使P 到A.B.C.D 点的距离之和最小，并说明原因。
例：如图：两点A、B分别在直线两侧，A点与直线AM的距离=4，B点与直线BN的距离BN=2，MN=4，P为直线上的移动点，PA+PB的最小值，|PAPB|的最大值是，|PAPB| 的最小值是。
3. 三角形和四边形的周长最小。
4.“将军饮马”需要翻译
例：如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点坐标为A(1,3)、B(m,0)、C(m+2,0)、D(5,1 ）。当四边形ABCD的周长最小时，m的值为______。
5、该点到直线的最短垂直线段
类型2：从已知的定长线段中求最优值
找到两条固定长度的线段，它们形成与所需最大值相关的三角形。定长线段之和为最大值，定长线段之间的差为最小值。
例1，如图所示，边长为2的等边形ABC的顶点A、B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，则距移动的最大距离点C 到原点O 的距离为。
例2、如图所示，在RTABC中，ABC=90，AB=4，BC=3，D点为半径为2的圆A上的移动点，E点为CD的中点，那么BE长度的最大值是多少呢？
对于培训：
1、如图所示，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上。当B在ON边上移动时，A则在OM上移动，矩形ABCD的形状保持不变。其中AB=2，BC=1，运动过程中，D点到O点的最大距离为______。
2、如图所示，E、F是正方形ABCD边AD上的两个移动点，满足AE=DF。 CF和BD在G点连接，BE和AG在H点连接。如果正方形的边长为2，则线段DH的最小长度为。
3、如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E为AB边的中点，F为线段BC边的移动点。沿EF所在直线对折EBF，得到EBF，连接BD，则BD的最小值为。
类型3 旋转最大模型
通过旋转，找到两条固定长度的线段，形成与所需最大值相关的三角形。定长线段之和为最大值，定长线段之间的差为最小值。
例1、如图所示，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，ACD是等边三角形，求BD的最大值。
2、正方形ABCD外面有一点P，PA=3，PB=4，AC、BD交于O点，求OP的最大值
课后练习：
1、在锐角ABC，AB=4，BC=5，ACB=45，绕B点旋转ABC，得A1BC1。如图所示，E点为线段AB的中点，P点为线段AC。作为移动点，ABC绕B点旋转时，P点对应的点为P1点，线段EP1的长度范围为___。
2、如图所示，ABC和EFG都是边长为2的等边三角形，D点为边BC和EF的中点。直线AG与FC相交于M点，当EFG绕D点旋转时，线段BM的最小长度为( )
A.23B.3+1C。 2D。 31
3、如图所示，在RtABC中，BAC=90，AB=6，AC=8，AD为BC上的高，还有一个RtDEF（其直角顶点在点d)绕D点旋转，在旋转过程中，DE和DF分别与边AB和AC相交于M和N点，则线段MN的最小值为___。
4、如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，点M为边AD的中点，点N为边AB上的移动点，沿直线折叠AMN其中MN所在处得到AMN，连接AC，则AC的长度最小值为( )
A. 7B. 71C。 3D。 2
5 如图所示，在ABC中，ABC=30，AB=6，BC=8，尝试在ABC中找到一点P，使得P到A、B三点的距离之和，C 最小。求最小值并给出理由。
6 如图，在ABC中，ACB=90，AC=8，BC=6，P为直线AB上的移动点（与B点不重合），将BCP沿直线折叠其中CP所在，求出BCP，连接BA，BA的长度最小值为m，BA的长度最大值为n，则m+n的值等于___。
7 如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画A，E为圆A上的移动点，P为BC上的移动点，则PE+PD 的最小值为。
8 如图，正方形ABCD的面积为6，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线BD上有一点P使PC+PE之和最小，则这个最小值是
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